Да, страховая компания, выплатившая страховое возмещение, вправе перенять право требования от страхователя к лицу, ответственному за убытки. В страховом праве это называется правом суброгации.
Если затопление квартиры соседа произошло по Вашей вине, т.е., если в ходе судебного разбирательства будут установлены Ваши конкретные противоправные действия или бездействия, повлекшие причинение убытков, то суд с большой долей вероятности удовлетворит иск страховой компании и взыщет с Вас убытки. Сумма убытков в таком случае равна сумме выплаченного страхового возмещения.
Срок давности по таким требованиям составляет 10 лет со дня наступления страхового случая.